Question

【题目】问题探究：

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．

（1）证明：AD=BE；

（2）求∠AEB的度数．

问题变式：

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请求出∠AEB的度数以及判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】探究展示：（1）证明见解析; （2）600.

拓展延伸：（1）∠AEB=900 ;（2）AE= 2CM+BE,理由见解析.

【解析】试题分析：问题探究：（1）先证出∠ACD=∠BCE，那么△ACD≌△BCE，根据全等三角形证出AD=BE；

（2）∠ADC=∠BEC，求出∠ADC=120°，得出∠BEC=120°，从而证出∠AEB=60°；

问题变式：证明△ACD≌△BCE，得出∠ADC=∠BEC、AD=BE，从而得到∠AEB的度数，再由等腰直角三角形的性质得到DM=ME=CM即可．

试题解析：问题探究：

（1） ∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC、DC=EC，∴∠ACD=∠BCE，∴△CDA≌△CEB, ∴AD=BE

（2）∵△CDA≌△CEB,∴∠CEB=∠CDA=1200，又∠CED=600，∴∠AEB=1200－600=600.

问题变式：

（1）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 900,

∴AC=BC, CD=CE,

∠ACB-∠DCB=∠DCE－∠DCB,

即∠ACD= ∠BCE

∴△ACD≌△BCE

∴AD = BE, ∠BEC=∠ADC=1350.

∴∠AEB=∠BEC－∠CED=1350－450=900

（2）AE= 2CM+BE

在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，

∴CM= DM= ME，∴DE=2CM.

∴AE=DE+AD=2CM+BE

∴AE= 2CM+BE