Question

【题目】综合与探究

如图，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ，过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E．连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为秒（）．

（1）求直线BC的函数表达式．

（2）①直接写出P、D两点的坐标（用含的代数式表示，结果需化简）．

②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求的值．

（3）试探究在点P、Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点．若存在，请直接写出此时的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①P（，），D（， ）；②；（3）t=3，F（，）．

【解析】

试题分析：（1）先求出B、C两点的坐标，进而求出直线BC的函数表达式；

（2）①过点P作PG⊥x轴于点G ，由AO=3，BO=9，OC=，得到∠CAO=60°，∠APG=30°，从而有AP=t， AG=，PG=，得到P的坐标．由OQ=，得到D的横坐标，由D在抛物线上，得到D的纵坐标；

②过点P作PG⊥x轴于点G，PH⊥QD于点H，得到四边形PGQH是矩形，从而有QD=2HQ=2PG，解关于t的方程即可；

（3）由中点坐标公式和F在直线BC上得到，解得t=3．把t=3代入得到F的坐标．

试题解析：（1）由y=0，得，解得：，，∴点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（9，0）．由x=0，得，∴点C的坐标为（0， ）．

设直线BC的函数表达式为：，∴ ，解得：，∴直线BC的函数表达式为： ；

（2）①过点P作PG⊥x轴于点G ．∵A（-3，0），B（9，0），C（0， ）∴AO=3，BO=9，OC=，∴tan∠CAO= ，∴∠CAO=60°，∴∠APG=30°，∵AP=t，∴AG=，PG=，∴OG=3-，∴P（，）．∵OQ=，∴D的横坐标为，∵D在抛物线上，∴D的纵坐标为=，∴D D（， ）．

综上所述：P（，），D（， ）；

②过点P作PG⊥x轴于点G，PH⊥QD于点H．∵QD⊥x轴，∴四边形PGQH是矩形，∴HQ=PG．∵PQ=PD，PH⊥QD，∴QD=2HQ=2PG．

∵P、D两点的坐标分别为P（，），D（， ），∴=，解得：（舍去），，∴当PQ=PD时，t的值为．

（3）∵F为PD的中点，且P（，），D（， ），由中点坐标公式得：F（， ），∵F在直线BC上，∴，∴，解得：t=3．

当t=3时，=，=，∴F（，）．