Question

【题目】已知抛物线y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）与x轴分别交于A（x1 ， 0）、
B（x2 ， 0）两点，直线y2=2x+t经过点A．

（1）已知A、B两点的横坐标分别为3、﹣1．
①当a=1时，直接写出抛物线y1和直线y2相应的函数表达式；
②如图，已知抛物线y1在3＜x＜4这一段位于直线y2的下方，在5＜x＜6这一段位于直线y2的上方，求a的取值范围；
（2）若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个公共点，探求x2﹣x1与a之间的数量关系．

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵已知抛物线y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）经过A（x1，0）、B（x2，0）两点，当a=1，

∴y1=（x﹣3）（x+1），

∵直线y2=2x+t经过点A，

∴0=2×3+t，

解得：t=﹣6，

∴y2=2x﹣6；

②设y1=a（x﹣3）（x+1），

由题意可得，当x=4时，y1=5a＜2，

∴a＜ ，

当x=5时，y1=12a＞4，

∴a＞ ，

∴ a＜

（2）解：∵直线y2过点A（x1，0），

∴0=2x1+t，∴t=﹣2x1，

∴y=y1+y2=a（x﹣x1）（x﹣x2）+2x﹣2x1=（x﹣x1）[a（x﹣x1）+2]

∴方程的根为x1，x2﹣ ，

∵函数y的图象与x轴仅有一个公共点，

∴x1=x2﹣ ，

∴x2﹣x1=

【解析】
（1）①根据已知条件得出当a=1时，得到y1=（x﹣3）（x+1），由于直线y2=2x+t经过点A，得到方程0=2×3+t，得到t=﹣6，

于是得到结论；②设y1=a（x﹣3）（x+1），根据题意得出不等式即可得出结论；（2）根据已知条件得到y=y1+y2=a（x﹣x1）（x﹣x2）+2x﹣2x1=（x﹣x1）[a（x﹣x1）+2]，根据函y的图像与x轴仅有一个公共点，于是得到结论。

【考点精析】通过灵活运用确定一次函数的表达式和抛物线与坐标轴的交点，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．即可以解答此题．