Question

【题目】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+12与x轴，y轴分别相交于点A，B，∠ABO的平分线与x轴相交于点C．

（1）如图1，求点C的坐标；

（2）如图2，点D，E，F分别在线段BC，AB，OB上（点D，E，F都不与点B重合），连接DE，DF，EF，且∠EDF+∠OBC=90°，求证：∠FED=∠AED；

（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段FE与x轴相交于点G，连接DG，若∠CGD=∠FGD，BF：BE=5：8，求直线DF的解析式．

Answer 1

【答案】（1）点C坐标为（4，0）；（2）见解析；（3）直线DF的解析式为y=﹣x+7．

【解析】整体分析：

（1）作CH⊥AB于H，由△OBC≌△HBC求BH，解Rt△ACH，求CH，即得OC；（2）过点D分别作DM⊥y轴于点M，DN⊥AB于点N，在NA上截取NP=FM，连接PD，用SAS证△DFM≌△DPN，得DF=DP，∠EDF=∠EDP，证△DEF≌△DEP；（3）过点F作FQ⊥BE于点Q，过点D作DM⊥y轴于M，DN⊥AB于N，DR⊥EF于R，DS⊥OG于点S，过点A作AT⊥BC交BC的延长线于T，连接AD．解Rt△ACT求ST，AT，∠ADT=∠DAT=45°，求DC，从而得DS，OS，求出D的坐标，判断DF∥AB，即可求DF的解析式.

解：（1）如图1，作CH⊥AB于H．

由题意A（9，0），B（0，12），

在Rt△AOB中，AB===15，tan∠OAB===，

∵∠CBH=∠CBO，∠CHB=∠COB，CB=CB，

∴△OBC≌△HBC，

∴BH=OB=12，OC=CH，AH=15﹣12=3，

在Rt△ACH中，tan∠CAH==，

∠CH=4，

∴OC=CH=4，

∴点C坐标为（4，0）．

（2）解：如图2，过点D分别作DM⊥y轴于点M，DN⊥AB于点N，在NA上截取NP=FM，连接PD．

∵∠EDF+∠OBC=90°，∠BDM+∠OBC=90°，

∴∠EDF=∠BDM，同理∠BDN=∠BDM=∠MDN，

∴∠EDF=∠MDN，

∵∠DBM=∠DBN，DM⊥OB，DN⊥AB，

∴DM=DN，

∵∠FMD=∠PND=90°，NP=FM，

∴△DFM≌△DPN，

∴DF=DP，∠FDM=∠PDN，

∴∠FDM+∠FDN=∠PDN+∠FDN，即∠FDP=∠MDN，

∴∠EDF=∠FDP=∠EDP，

∵DE=DE，

∴△DEF≌△DEP，

∴∠FED=∠AED．

（3）解：如图3，过点F作FQ⊥BE于点Q，过点D作DM⊥y轴于M，DN⊥AB于N，DR⊥EF于R，DS⊥OG于点S，过点A作AT⊥BC交BC的延长线于T，连接AD．

∵∠DEF=∠DEA，DR⊥EF，DN⊥EA，

∴DR=DN，同理DR=DS，

∴DN=DS，

∴∠BAD=∠OAD，同理∠OFD=∠DFG，

在Rt△ACT中，AC=9﹣4=5，tan∠ACT=tan∠BCO==3， =3，

设CT=m，则AT=3m．

∵CT2+AT2=AC2，

∴m2+（3m）2=52，

解得m=或﹣（舍），

∴CT=，AT=，

∵∠ADC=∠ABD+∠BAD=（∠OBA+∠BAO）=×90°=45°，

∴∠DAT=45°=∠ADC，

∴DT=AT=，

∴CD=DT﹣CT=，同理可得，CS=1，DS=3=OM，

∴OS=4﹣1=3，

∴点D坐标（3，3），

设BF=5n，则BE=8n，在Rt△BFQ中，cos∠FBQ===，

∴BQ=4n=EQ，

∴FQ⊥AB，∠BFQ=∠EFQ，

∴∠DFQ=∠DFC+∠EFQ=（∠OFG+∠BFE）=×180°=90°，

∴∠DFQ=∠BQF=90°，

∴DF∥AB，

设直线DF的解析式为y=﹣x+b，

∴3=﹣×3+b，

解得b=7，

∴直线DF的解析式为y=﹣x+7．