Question

【题目】解答题
（1）问题背景
如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB=AC，P为BmC上一动点（不与B，C重合），求证： PA=PB+PC．

小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB，AP，AC，且AB=AC，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：
第一步：将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；
第二步：证明Q，B，P三点共线，进而原题得证．
请你根据小明同学的思考过程完成证明过程．
（2）类比迁移
如图②，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值．

（3）拓展延伸
如图③，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB= AC，AB⊥AC，垂足为A，则OC的最小值为 ．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；

∵BC是直径，

∴∠BAC=90°，

∵AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC=45°，

由旋转可得∠QBA=∠PCA，∠ACB=∠APB=45°，PC=QB，

∵∠PCA+∠PBA=180°，

∴∠QBA+∠PBA=180°，

∴Q，B，P三点共线，

∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°，

∴QP2=AP2+AQ2=2AP2，

∴QP= AP=QB+BP=PC+PB，

∴ AP=PC+PB

（2）

解：如图②中，连接OA，将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，

∵AB⊥AC

∴∠BAC=90°

由旋转可得　QB=OC，AQ=OA，∠QAB=∠OAC

∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°

∴在Rt△OAQ中，OQ=3 ，AO=3

∴在△OQB中，BQ≥OQ﹣OB=3 ﹣3

即OC最小值是3 ﹣3

（3）
【解析】（3）如图③中，作AQ⊥OA，使得AQ= OA，连接OQ，BQ，OB．

∵∠QAO=∠BAC=90°，
∠QAB=∠OAC，
∵ = = ，
∴△QAB∽OAC，
∴BQ= OC，
当BQ最小时，OC最小，
易知OA=3，AQ=4，OQ=5，BQ≥OQ﹣OB，
∴BQ≥2，
∴BQ的最小值为2，
∴OC的最小值为 ×2= ，
故答案为 ．
（1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①），只要证明△APQ是等腰直角三角形即可解决问题；（2）如图②中，连接OA，将△OAC绕点O顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，在△BOQ中，利用三边关系定理即可解决问题；（3）如图③构造相似三角形即可解决问题．作AQ⊥OA，使得AQ= OA，连接OQ，BQ，OB．由△QAB∽OAC，推出BQ= OC，当BQ最小时，OC最小；