Question

【题目】如图，点A在⊙O上，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接OP交⊙O于点D，作AB⊥OP于点C，交⊙O于点B，连接PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若PC=9，AB=6 ， ①求图中阴影部分的面积；

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，连接OB，

∵OP⊥AB，OP经过圆心O，

∴AC=BC，

∴OP垂直平分AB，

∴AP=BP，

∵OA=OB，OP=OP，

∴△APO≌△BPO（SSS），

∴∠PAO=∠PBO，

∵PA切⊙O于点A，

∴AP⊥OA，

∴∠PAO=90°，

∴∠PBO=∠PAO=90°，

∴OB⊥BP，

又∵点B在⊙O上，

∴PB与⊙O相切于点B；

（2）解：如图1，

∵OP⊥AB，OP经过圆心O，

∴BC= AB=3 ，

∵∠PBO=∠BCO=90°，

∴∠PBC+∠OBC=∠OBC+∠BOC=90°，

∴∠PBC=∠BOC，

∴△PBC∽△BOC，

∴

∴OC= = =3，

∴在Rt△OCB中，OB= = =6，tan∠COB= = ，

∴∠COB=60°，

∴S△OPB= ×OP×BC= × =18 ，S扇DOB= =6π，

∴S阴影=S△OPB﹣S扇DOB=18 ﹣6π；

②若点E是⊙O上一点，连接AE，BE，当AE=6 时，BE= ．

3 ﹣3 或3 +3

【解析】②分两种情况： i）当点E在 上时，如图2，作直径AF，交⊙O于F，连接EF、EB，过O作OG⊥AE于G，过F作FH⊥EB于H，

∴EG=AG= AE= × =3 ，
∵∠AOB=120°，OA=OB，
∴∠OAB=30°，
∴∠BEF=∠OAB=30°，
Rt△OGE中，由①知：OA=6，
∴OG= = =3 ，
∴AG=OG，
∴△OGA是等腰直角三角形，
∴∠OAE=45°，
∴∠EBF=∠OAE=45°，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF=AE=6 ，
Rt△EHF中，∠BEF=30°，
∴FH= EF=3 ，
∴EH= = =3 ，
Rt△BHF中，∵∠EBF=45°，
∴△BHF是等腰直角三角形，
∴BH=FH=3 ，
∴BE=3 +3 ，
ii）当点E在劣弧 上时，如图3，
作直径AF，并⊙O于F，连接OB、OE、BF，过B作BH⊥OE于H，

∵AF为⊙O的直径，
∴∠ABF=90°，
∵∠BAF=30°，
∴∠F=∠BOF=60°，
∵OA=OE=6，AE=6 ，
∴OA2+OE2=AE2 ，
∴∠AOE=90°，
∴∠EOF=90°，
∴∠EOB=30°，
Rt△OHB中，BH= OB=3，
∴OH= =3 ，
∴EH=6﹣3 ，
∴BE= = = =3 ﹣3 ；
综上所述，BE的长为3 +3 或3 ﹣3 ；
所以答案是：3 ﹣3 或3 +3 ．
【考点精析】通过灵活运用垂径定理和扇形面积计算公式，掌握垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）即可以解答此题．