Question

【题目】综合题
（1）如图1，锐角△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于F，连DE，求证：DFDA=DBDC；

（2）如图2，若∠BAC=90°，AD⊥BC于D，F为线段AD上一点，在AD延长线上找一点G使AD2=DFDG，请画出图形找出点G并加以证明；

（3）如图3，在（1）的条件下，若∠ABC=45°，EF=1，EC=3，直接写出BD长．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：如图1中，

∵AD、AE是△ABC的高，

∴∠ADC=∠BDF=∠BEC=90°，

∴∠DBF+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，

∴∠DBF=∠DAC，

∴△DBF∽△DAC，

∴ = ，

∴DFDA=DBDC．

（2）解：如图2中，在DC上截取DM，使得DM=DA，

连接FM、AM，作MN⊥FM交AD的延长线于G．则AD2=DFDG．

理由：∵∠MDF=∠MDG=∠FMG=90°，

∴∠DMF+∠DMG=90°，∠DMG+∠G=90°，

∴∠DMF=∠G，

∴△DMF∽△DGM，

∴ = ，

∴DM2=DFDG，

∵AD=DM，

∴AD2=DFDG．

（3）解：如图3中，连接FC．

∵∠ABC=45°，∠ADB=90°，

∴BD=AD，

∵∠DBF=∠CAD（已证），∠BDF=∠ADC=90°，

∴△BDF≌△ADC，

∴DF=DC，

在Rt△EFC中，FC= = = ，

∴DF=DC= ，设BD=AD=y，则AC= = ，

∵△EAF∽△DAC，

∴ = ，

∴ = ，

解得y=2 或 （舍弃），

∴BD=2 ．

【解析】（1）先证明∠DBF=∠DAC，然后再证明△DBF∽△DAC，最后，依据相似三角形对应边成比例求解即可；
（2）在DC上截取DM，使得DM=DA，连接FM、AM，作MN⊥FM交AD的延长线于G．则AD2=DFDG．接下来，再证明△DMF∽△DGM即可解决问题；
（3）连接FC．依据ASA可证明△BDF≌△ADC，根据全等三角形的性质定理可得到DF=DC，接下来，依据勾股定理可求得DF、DC的长，设BD=AD=y，则可得到AC的长，最后，依据△EAF∽△DAC，可得到关于y的比例式，从而可求得y的值.
【考点精析】掌握相似三角形的应用是解答本题的根本，需要知道测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．