Question

【题目】已知I是△ABC的内心，AI延长线交△ABC外接圆于D，连BD．

（1）在图1中，求证：DB=DI；
（2）如图2，若AB为直径，且OI⊥AD于I点，DE切圆于D点，求sin∠ADE的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接BI，

∵I是△ABC的内心，

∴AD平分∠CAB，BI平分∠ABC，

∴∠CAD=∠BAD，∠ABI=∠CBI，

∵∠CAD=∠DBC，

∴∠DAB=∠CBD，

∵∠DBI=∠DBC+∠CBI，

∠DIB=∠DAB+∠IBA，

∴∠DIB=∠DBI，

∴BD=DI；

（2）解：连接BD，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∵OI⊥AD，

∴AD=2DI，

∵BD=DI，

∴AD=2BD，

∴AB= = BD，

∵DE切圆于D点，

∴∠ABD=∠ADE，

∴sin∠ADE=sin∠ABD= = ．

【解析】（1）连接BI，依据三角形的内心的定义可得到AD平分∠CAB，BI平分∠ABC，根据角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，∠ABI=∠CBI，得到结合圆周角定理可得到∠DAB=∠CBD，然后再依据三角形的外角的性质得到∠DIB=∠DBI，最后，依据等角对等边的性质可得到BD=DI；
（2）连接BD，根据圆周角定理的推理可得到∠ADB=90°，然后再依据垂径定理得到AD=2DI，接下来，利用勾股定理求得AB的长，，根据弦切角定理得到∠ABD=∠ADE，接下来，依据锐角三角函数的定义求解即可.
【考点精析】利用圆周角定理对题目进行判断即可得到答案，需要熟知顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．