Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点F，AC⊥AB于点A，点E在边CD上，且满足DFDB=DEDC，FE=FB，BD平分∠ABE，若AB=6，CF=9，则OE的长为_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】分析：首先证明△BAF∽△CAB，推出AB2=AFAC，设AF=x，则有36=x（x+9），解得x=3，推出AF=3，BF=EF==3，BC==6，由△EOF∽△COB，推出===，设OF=a，OB=2a，在Rt△ABO中，根据AB2+AO2=OB2，可得36+（3+a）2=4a2，求出a即可解决问题.

详解：如图：

∵DFDB=DEDC，

∴=，

∵∠EDF=∠BDC，

∴△CDF∽△BDE，

∴∠2=∠5，

∵∠FOB=∠EOC，

∴△BOF∽△COE，

∴=，

∴=，

∴△EOF∽△COB，

∴∠3=∠4，

∵FB=FE，

∴∠2=∠4，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠2=∠3，∵∠BAF=∠CAB，

∴△BAF∽△CAB，

∴AB2=AFAC，

设AF=x，则有36=x（x+9），解得x=3，

∴AF=3，BF=EF==3，

BC==6，

∵△EOF∽△COB，

∴===，

设OF=a，OB=2a，

在Rt△ABO中，∵AB2+AO2=OB2，

∴36+（3+a）2=4a2，

解得a=5，

∴OF=5，OC=4，

∴OE=2．

故答案为2．