Question

【题目】观察、猜想、探究：

在△ABC中，．

（1）如图①，当，AD为∠BAC的角平分线时，求证：；

（2）如图②，当，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的

数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明；

（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想.

Answer 1

【答案】（1）见解析；(2 ) ，理由见解析；（3）

【解析】试题分析：（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，理由角平分线性质得到DE=DC，利用HL得到Rt△ACD≌Rt△AED，由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AC=AE，∠ACB=∠AED，由∠ACB=2∠B，利用等量代换及外角性质得到一对角相等，利用等角对等边得到BE=DE=DC，由AB=BE+AE，等量代换即可得证；
（2）AB=CD+AC，理由为：在AB上截取AG=AC，如图2所示，由角平分线定义得到一对角相等，再由，利用SAS得到△ADG≌△ADC，接下来同（1）即可得证；
（3）AB=CDAC，理由为：在AF上截取AG=AC，如图3所示，同（2）即可得证．

试题解析：(1)过D作DE⊥AB，交AB于点E，如图1所示，

∵AD为∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，

∴DE=DC，

在Rt△ACD和Rt△AED中，

AD=AD，DE=DC，

∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，

∴AC=AE，∠ACB=∠AED，

∵∠ACB=2∠B，

∴∠AED=2∠B，

又∵∠AED=∠B+∠EDB，

∴∠B=∠EDB，

∴BE=DE=DC，

则AB=BE+AE=CD+AC；

(2)AB=CD+AC，理由为：

在AB上截取AG=AC，如图2所示，

∵AD为∠BAC的平分线，

∴∠GAD=∠CAD，

∵在△ADG和△ADC中，

∴△ADG≌△ADC(SAS)，

∴CD=DG，∠AGD=∠ACB，

∵∠ACB=2∠B，

∴∠AGD=2∠B，

又∵∠AGD=∠B+∠GDB，

∴∠B=∠GDB，

∴BE=DG=DC，

则AB=BG+AG=CD+AC；

(3)AB=CDAC，理由为：

在AF上截取AG=AC，如图3所示，

∵AD为∠FAC的平分线，

∴∠GAD=∠CAD，

∵在△ADG和△ACD中，

∴△ADG≌△ACD(SAS)，

∴CD=GD，∠AGD=∠ACD，即∠ACB=∠FGD，

∵∠ACB=2∠B，

∴∠FGD=2∠B，

又∵∠FGD=∠B+∠GDB，

∴∠B=∠GDB，

∴BG=DG=DC，

则AB=BGAG=CDAC.