Question

【题目】如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E．

（1）求证：EA是⊙O的切线；

（2）求证：BD=CF．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质可得：∠OAC=30°，∠BCA=60°，证明∠OAE=90°，可得：AE是⊙O的切线；

（2）先根据等边三角形性质得：AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由四点共圆的性质得：∠ADF=∠ABC=60°，得△ADF是等边三角形，证明△BAD≌△CAF，可得结论．

（1）连接OA．

∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠OAC=30°，∠BCA=60°．

∵AE∥BC，∴∠EAC=∠BCA=60°，∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，∴AE是⊙O的切线；

（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°．

∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ADF=∠ABC=60°．

∵AD=DF，∴△ADF是等边三角形，∴AD=AF，∠DAF=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAD=∠CAF．

在△BAD和△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF．