Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在AB延长线上，且∠BCD=∠A．

（1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）若∠A=30°，AC=2，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）π﹣．

【解析】试题分析：（1）连结OC，如图，根据圆周角定理得∠ACB=90°，再利用等腰三角形的性质得∠A=∠OCA，∠OBC=∠OCB，则∠A+∠BCO=90°，加上∠BCD=∠A，所以∠BCD+∠BCO=90°，于是根据切线的判定方法可判断DC是⊙O的切线；

（2）根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△ACB中计算出BC=AC=2，AB=2BC=4，再计算出∠AOC=120°，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积=S扇形AOC﹣S△AOC进行计算．

试题解析：（1）证明：连结OC，如图，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵OA=OC，OB=OC，

∴∠A=∠OCA，∠OBC=∠OCB，

∴∠A+∠BCO=90°，

∵∠BCD=∠A，

∴∠BCD+∠BCO=90°，即∠OCD=90°，

∴OC⊥CD，

∴DC是⊙O的切线；

（2）在Rt△ACB中，∵∠A=30°，

∴BC=AC=2，

AB=2BC=4，

∵∠AOC=180°﹣∠A﹣∠ACO=120°，

∴图中阴影部分的面积=S扇形AOC﹣S△AOC

=S扇形AOC﹣S△ABC=．