Question

【题目】如图，DABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M，N分别从现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．

（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．

Answer 1

【答案】
（1）解：设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+12=2x，解得：x=12
（2）解：设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，

AM=t×1=t，AN=AB-BN=12-2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t=12-2t，
解得t=4，∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN
（3）解：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，

假设△AMN是等腰三角形，∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，
∴∠AMC=∠ANB，∵AB=BC=AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C=∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵ ，∴△ACM≌△ABN，∴CM=BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM=y-12，NB=36-2y，CM=NB，y-12=36-2y，解得：y=16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形，此时M、N运动的时间为16秒
【解析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，根据N的运动路程=M的运动路程+12，列出方程求解即可。
（2）根据题意设点M、N运动t秒后，要得到等边三角形△AMN，由于∠A等于60°，只需AM=AN，然后用含t的代数式表示出AM，AN的长，所以根据AM=AN建立方程求解即可。
（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，根据CM=NB列出方程，可解出未知数的值即可。