Question

【题目】已知：点M、P、N、Q依次是正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点（不与正方形的顶点重合），给出如下结论：
①MN⊥PQ，则MN=PQ；
②MN=PQ，则MN⊥PQ；
③△AMQ≌△CNP，则△BMP≌△DNQ；
④△AMQ∽△CNP，则△BMP∽△DNQ
其中所有正确的结论的序号是 ．

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：连接QM，MP，PN，PQ，过N作NE⊥AB于E，过Q作QF⊥BC于F，
则四边形BCNE，四边形CDQF是矩形，
∴EN=BC，QF=CD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，
∴NE=QF，
①∵MN⊥PQ，
∴∠PQF=∠MNE，
在△PQF与△MNE中， ，
∴△PQF≌△MNE，
∴MN=PQ；
②在Rt△PQF与Rt△MNE中， ，
∴Rt△PQF≌Rt△MNE，
∴∠PQF=∠MNE，
∵∠PQF+∠1=90°，
∴∠MNE+∠1=90°，
∴MN⊥PQ；
③∵△AMQ≌△CNP，
∴AM=CN，PC=AQ，
∴PB=QD，BM=DN，
在△BMP与△DNQ中， ，
∴△BMP≌△DNQ，
④由△AMQ∽△CNP和已知条件推不出△BMP∽△DNQ的条件．
所以答案是：①②③．