Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，A（﹣3，0），B（0，1），C（m，n）．

（1）请直接写出C点坐标．
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移t个单位，B′、C′两点的对应点、正好落在反比例函数y= 在第一象限内图象上．请求出t，k的值．
（3）在（2）的条件下，问是否存x轴上的点M和反比例函数y= 图象上的点N，使得以B′、C′，M，N为顶点的四边形构成平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点M和点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠ADC=∠AOB=90°，

∴∠DAC+∠ACD=90°，

∵Rt△ABC，∠A=90°，

∴∠DAC+∠BAO=90°，

∴∠BAO=∠ACD，

在△ADC和△BOA中，

，

∴△ADC≌△BOA（AAS），

∴AD=OB=1，CD=OA=3，

∴OD=OA+AD=4，

∴C点坐标为：（﹣4，3）；

（2）

解：设向右平移了t个单位长度，则点B′的坐标为（t，1）、C′的坐标为（t﹣4，3），

∵B′、C′正好落在某反比例函数图象上，

∴t=3（t﹣4），

解得：t=6，

∴B′（6，1），C′（2，3），

∴k=6，

∴反比例函数的解析式为：y=

（3）

解：存在，如图2，

当MN为平行四边形MC′NB′的对角线时，

由平行四边形的对角线互相平分，可知B′C′，MN的中点为同一个点，

即 = ，

∴yN=4代入y= 得xN=1.5，

∴N（1.5，4）；

∵ = ，

∴xM=6.5，

∴M（6.5，0）；

如图3，

当MC′为平行四边形MC′NB′的对角线时，同理可得M（7，0），N（3，2）；

如图4，

当MB′为平行四边形MC′NB′的对角线时，同理可得M（﹣7，0），N（﹣3，2）；

综上所述：存在M（6.5，0），N（1. 5，4）或M（7，0），N（3，2）或M（﹣7，0），N（﹣3，2），使得以B′、C′，M，N为顶点的四边形构成平行四边形．

【解析】（1）由在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，可证得△ADC≌△BOA，继而求得C点坐标；（2）首先设向右平移了t个单位长度，则点B′的坐标为（t，1）、C′的坐标为（t﹣4，3），由B′、C′正好落在某反比例函数图象上，即可得t=3（t﹣4），继而求得m的值，则可求得各点的坐标，于是得到结论；（3）如图2，当MN为平行四边形MC′NB′的对角线时，如图3，当MC′为平行四边形MC′NB′的对角线时，如图4，当MB′为平行四边形MC′NB′的对角线时，根据中点坐标公式即可得到结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解平行四边形的判定(两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形)．