Question

【题目】△ABC是等腰直角三角形，其中∠C＝90°，AC＝BC. D是BC上任意一点（点D与点B，C都不重合），连接AD，CF⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，BG⊥BC交CF的延长线于点G．

（1）依题意补全图形，并写出与BG相等的线段．

（2）当点D为线段BC中点时，连接DF ．求证：∠BDF＝∠CDE．

（3）当点C和点F关于直线AD成轴对称时，直接写出线段CE，DE，AD三者之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）.（2）证明过程见解答.（3）.

【解析】

（1）如图1，根据ASA证明△CBG≌△ACD，得BG=DC；
（2）如图2，由（1）得：△CBG≌△ACD，得∠CDE=∠G，再证明△BDF≌△BGF得出结论；
（3）如图3，作辅助线，分别证明△ACD≌△AFD和△ACN≌△CBF，得DN=2DE，AN=CF=2CE，可以得出结论．

解：（1）BG=DC，理由是：

如图1，∵∠ACB=90°，

∴∠BCG+∠GCA=90°，

∵CF⊥AD，

∴∠CEA=90°，

∴∠GCA+∠CAD=90°，

∴∠BCG=∠CAD，

∵∠ACB=∠CBG=90°，AC=BC，

∴△CBG≌△ACD（ASA），

∴BG=DC；

（2）如图2，由（1）得：△CBG≌△ACD，

∴∠CDE=∠G，

∵D是BC的中点，

∴BD=DC，
∵BG=DC，

∴BG=BD，

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CBA=45°，

∵∠CBG=90°，

∴∠GBA=45°，

∴∠GBA=∠CBA=45°，

∵BF=BF，

∴△BDF≌△BGF（SAS），

∴∠BDF=∠G，

∴∠BDF=∠CDE；

（3）AD=2DE+2CE，理由是：

如图3，过C作CM⊥AB于M，交AD于N，

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠BCM=∠ACM=45°，

∵点C和点F关于直线AD成轴对称，

∴AD是CF的中垂线，

∴CE=EF，CD=DF，AC=AF，

∵AD=AD，

∴△ACD≌△AFD，

∴∠DFA=∠ACB=90°，

∵∠CBA=45°，

∴△DBF是等腰直角三角形，

∴BF=DF，

∴BF=DF=CD，

∵AC=AF，∠BAC=45°，

∴∠ACF=∠CFA=67.5°，∠CAE=∠FAE=22.5°，

∴∠BCG=90°-67.5°=22.5°，

∴∠ECN=45°-22.5°=22.5°，

∴∠ECN=∠BCG，

∴△DCE≌△NCE，

∴DC=CN，DE=EN，

∴CN=BF，

∵∠CAD=∠BCG=22.5°，

∵AC=BC，

∴△ACN≌△CBF，

∴CF=AN=2CE，

∴AD=DE+EN+AN=2DE+CF=2DE+2CE．