【题目】两个等腰直角三角形如图放置，∠B=∠CAD=90°，AB=BC=cm，AC=AD，垂直于CD的直线a从点C出发，以每秒cm的速度沿CD方向匀速平移，与CD交于点E，与折线BAD交于点F；与此同时，点G从点D出发，以每秒1cm的速度沿着DA的方向运动；当点G落在直线a上，点G与直线a同时停止运动；设运动时间为t秒（t>0）.

（1）填空：CD=_______cm;

（2）连接EG、FG，设△EFG的面积为y，求y与t之间的函数关系式，并写出相应t的取值范围；

（3）是否存在某一时刻t（0<t<2）,作∠ADC的平分线DM交EF于点M，是否存在点M是EF的中点？若存在，求此时的t值；若不存在，请说明理由。

参考答案：

【答案】（1）4 ；（2）①当时，；②当时，；（3）3- .

【解析】分析：

（1）由∠B=∠CAD=90°，AB=BC=cm，可得AC=4，结合AC=AD可得CD=；

（2）由题意可知，当直线a过点A时，t=2，当直线a过点G时，t=；因此需分0<t≤2和2<t<（当t=时，运动停止了）两段分别进行讨论，画出对应的图形如下图1和图2，作出如图所示的辅助线，结合已知条件分析、计算即可得到对应的y与t的函数关系式；

（3）如图3，当DM平分∠ADC时，延长DM交AB的延长线于点Q，过点D作DN⊥AB，并交BA的延长线于点N，由已知条件易得AQ=AD，AN=DN，由此即可求得QN的长，结合EM=EF=DN、EF∥DN可得DF=EN=，再由CF=CD-DF即可求得CF的长，由此即可求得对应的t的值.

详解：

（1）∵在△ABC中，AB=CB=，∠ABC=90°，

∴AC=，

又∵在△ACD中，AC=AD，∠CAD=90°，

∴CD=；

（2）由题意可得，当t=2时，直线a过点A；点G在水平方向上的移动速度为cm/秒，由此可得当t=时，直线a过点G；由此可分以下两种情况讨论y与t间的函数关系：

①如图1，当时，过点G作GM⊥CD于点M，GH⊥EF于点H，由题意可得EF=BC=，CE=，MD=GD=，GH=ME，

∴GH=CD-CE-MD=，

∴y=S△EFG=EF·GH=（），

即：当时，；

②如图2，当时，过点G作GN⊥CD于点N，由题意可得EF=DF=CD-CF=，GN=DN=DG=，

∴FN=CD-CF-DN=，

∴y=S△EFG=EF·FN=，

化简整理得：当时，；

综上所述，y与t间的函数关系式为：①当时，；②当时，；

（3）存在符合要求的点M，如图3，当DM平分∠ADC时，延长DM交AB的延长线于点Q，过点D作DN⊥AB，并交BA的延长线于点N，

∵∠B=∠CAD=90°，AB=BC，AC=AD，

∴∠ACB=∠ACD=∠ADC=45°，

∴∠BCD=90°，

∴∠ABC+∠BCD=180°，

∴AB∥CD，

∴∠Q=∠CDQ，∠DAN=∠ADC=45°，

∵DM平分∠ADC，DN⊥AB于点N，

∴∠ADQ=∠CDQ=∠Q，∠DAN=∠ADN=45°，

∴AQ=AD=4，AN=DN=AD=，

∴QN=AQ+AN=，

由题意可知EF⊥AB，又∵AB∥CD，DN⊥AB，

∴可得四边形EFDN是矩形，

∴EF=DN，EN=DF，

∵M为EF的中点，

∴EM=EF =DN，

∵DF∥DN，

∴△QEM∽△QNB，

∴QE：QN=EM：DN=1：2，

∴QE=QN=，

∴DF=EN=QN-QE=，

∴CF=CD-DF=，

∴.

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