Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AD，对角线BD为⊙O的直径，AC与BD交于点E．点F为CD延长线上，且DF=BC.

（1）证明：AC=AF；

（2）若AD=2，AF=，求AE的长；

（3）若EG∥CF交AF于点G，连接DG.证明：DG为⊙O的切线.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）AE的长为；

（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由圆的内接四边形的性质得：∠ABC+∠ADC=180°，又∠ADF+∠ADC=180°，故∠ABC=∠ADF,结合已知条件可证△ABC≌△ADF，从而可得结论；

（2）由（1）得AC=AF，由AB=AB得，得∠ADE=∠ACD．可证△ADE∽△ACD，得，变换比例式从而得解；

（3）通过证明△ADG∽△AFD得∠ADG=∠F．再运用切线的判定定理即可得证.

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC=180°．

∵∠ADF+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADF．

在△ABC与△ADF中，

，

∴△ABC≌△ADF．

∴AC=AF；

（2）由（1）得，AC=AF=．

∵AB=AD，

∴

∴∠ADE=∠ACD．

∵∠DAE=∠CAD，

∴△ADE∽△ACD．

∴．

∴．

（3）证明：∵EG∥CF，∴ ．

∴AG=AE．

由（2）得，∴．

∵∠DAG=∠FAD，∴△ADG∽△AFD．

∴∠ADG=∠F．

∵AC=AF，∴∠ACD=∠F．

又∵∠ACD=∠ABD，

∴∠ADG=∠ABD．

∵BD为⊙O的直径，

∴∠BAD=90°．

∴∠ABD+∠BDA=90°．∴∠ADG+∠BDA=90°．

∴GD⊥BD．

∴DG为⊙O的切线.