Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点O，点A（6，﹣6 ），且以y轴为对称轴．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点B（0，﹣ ）作x轴的平行线l，点C在直线l上，点D在y轴左侧的抛物线上，连接DB，以点D为圆心，以DB为半径画圆，⊙D与x轴相交于点M，N（点M在点N的左侧），连接CN，当MN=CN时，求锐角∠MNC的度数；

（3）如图3，在（2）的条件下，平移直线CN经过点A，与抛物线相交于另一点E，过点A作x轴的平行线m，过点（﹣3，0）作y轴的平行线n，直线m与直线n相交于点S，点R在直线n上，点P在EA的延长线上，连接SP，以SP为边向上作等边△SPQ，连接RQ，PR，若∠QRS=60°，线段PR的中点K恰好落在抛物线上，求Q点坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设过坐标原点O，点A（6，﹣6 ），且以y轴为对称轴的抛物线为y=ax2，

则﹣6 =36a，

∴a=﹣ ，

∴y=﹣ x2

（2）

解：如图2中，作CF⊥MN于F，设⊙D与x轴的交点为（x，0），D（m，﹣ m2）．

则有（x﹣m）2+（ m2）2=m2+（﹣ m2+ ）2，

整理得x2﹣2mx+m2﹣3=0，

∴x=m+ 或m﹣ ，

∴N（m+ ，0），M（m﹣ ，0）

∴MN=2 ，

在Rt△CFN中，∵∠CFN=90°，CN=MN=2 ，CF= ，

∴CN=2CF，

∴∠CNF=30°

（3）

解：如图3中，

由题意可知平移直线CN经过点A的直线的解析式为y= x﹣8 ，

记直线y= x﹣8 与直线x=﹣3的交点为G，则G（﹣3，﹣9 ），

∵m∥x轴，且过点A（6，﹣6 ），

∴S（﹣3，﹣6 ），

∴SG=3 ，AS=9，

∴tan∠2= = ，

∴∠2=60°，

∴∠1=30°，

∵∠QRS=60°

∴∠QRS=∠2，

∵∠RSQ+∠QSP=∠2+∠SPG，∠QSP=∠2=60°，

∴∠3=∠4，

在△SQR和△PSG中，

，

∴△SQR≌△PSH

∴SR=PG，RQ=SG，

∴RQ=SG=3 ，作DQ⊥n于D，

∴QRD=60°，

∴DQ= DR= RQ= ，

∴RD= QR= ，

∵n是过（﹣3，0）与y轴平行的直线，设R（﹣3，b），记n与x轴的交点为M，则RM=b，

∵S（﹣3，﹣6 ），

∴MS=6 ，

∴SR=RM+MS=b+6 =PG，作PH⊥n于H，

∵∠2=60°，

∴GH= PG= （b+6 ），

∴MH=MG﹣HG=9 ﹣ （b+6 ）=6 ﹣ b，

∴P（6+ b， b﹣6 ），

∵K是PR中点，

∴K（ + b， b﹣3 ），

为了方便，记K（x，y），即x= + b，y= b﹣3 ，消去b得y= x﹣ ，

∴中点K在直线y= ﹣ 上运动，

由 消去y得到x2+6x﹣27=0，

∴x=3或﹣9（舍弃），

∴x=3，代入x= + b得到b=2 ，

∴RM=2 ，DM=RM﹣RD=2 ﹣ = ，

∵ ﹣3= ，

∴点Q的坐标为（ ， ）

【解析】（1）设过坐标原点O，点A（6，﹣6 ），且以y轴为对称轴的抛物线为y=ax2 ， 点A代入求出a即可．（2）如图2中，作CF⊥MN于F，设⊙D与x轴的交点为（x，0），D（m，﹣ m2），根据半径相等列出方程，求出M、N坐标，推出MN=2 ，在Rt△CFN中，由CN=2CF推出∠FNC=30°即可解决问题．（3）如图3中，由题意可知平移直线CN经过点A的直线的解析式为y= x﹣8 ，记直线y= x﹣8 与直线x=﹣3的交点为G，则G（﹣3，﹣9 ），由△SQR≌△PSH，推出SR=PG，RQ=SG，推出RQ=SG=3 ，作DQ⊥n于D，记n与x轴的交点为M，则RM=b，由S（﹣3，﹣6 ），推出MS=6 ，可得P（6+ b， b﹣6 ），再求出PR中点k坐标，证明k在直线y= ﹣ 上运动，由 消去y得到x2+6x﹣27=0，x=3或﹣9（舍弃），x=3，代入x= + b得到b=2 ，由此即可解决问题．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的图象和二次函数的性质，需要了解二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．