Question

【题目】如图1，在平行四边形ABCD中，连接BD，AD=6cm，BD=8cm，∠DBC=90°，现将△AEF沿BD的方向匀速平移，速度为2cm/s，同时，点G从点D出发，沿DC的方向匀速移动，速度为2cm/s．当△AEF停止移动时，点G也停止运动，连接AD，AG，EG，过点E作EH⊥CD于点H，如图2所示，设△AEF的移动时间为t（s）（0＜t＜4）．
（1）当t=1时，求EH的长度；
（2）若EG⊥AG，求证：EG2=AEHG；
（3）设△AGD的面积为y（cm2），当t为何值时，y可取得最大值，并求y的最大值．

Answer 1

【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，又∠DBC=90°，
∴∠ADB=90°，又AD=6cm，BD=8cm，
由勾股定理得，AB==10cm，
当t=1时，EB=2cm，
则DE=8﹣2=6cm，
∵EH⊥CD，∠DBC=90°，
∴△DEH∽△DCB，
∴=，即=，
解得，EH=3.6cm；
（2）∵∠CDB=∠AEF，
∴AE∥CD，
∴∠AEG=∠EGH，又EG⊥AG，EH⊥CD，
∴△AGE∽△EHG，
∴=，
∴EG2=AEHG；
（3）由（1）得，△DEH∽△DCB，
∴=，即=，
解得，EH=，
∴y=×DG×EH==﹣t2+t=﹣（t﹣2）2+，
∴当t=2时，y的最大值为．
【解析】（1）根据平行四边形的性质和勾股定理求出AB的长，证明△DEH∽△DCB，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可；
（2）证明△AGE∽△EHG，根据相似三角形的性质得到= ， 整理即可；
（3）根据△DEH∽△DCB，求出函数关系式，根据二次函数的性质得到答案．
【考点精析】认真审题，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2)，还要掌握平行四边形的性质(平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分)的相关知识才是答题的关键．