Question

【题目】某班数学兴趣小组进行了如下探究：（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交点为P，过点P作PQ⊥BC于点Q，连结DQ交AC于点P1，过点P1作P1Q1⊥BC于点Q1，已知AB=CD=a，则PQ= ，P1Q1= ．（用含a的代数式表示）

（2）如图②，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AC、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q．已知AB=a，CD=b，请用含a、b的代数式表示线段PQ的长，写出你的解题过程．

（3）如图③，在直角坐标系xOy中，梯形ABCD的腰BC在x轴正半轴上（点B与原点O重合），AB∥CD，∠ABC=60°，AC、BD交于点P，过点P作PQ∥CD交BC于点Q，连结AQ交BD于点P1，过点P1作P1Q1∥CD交BC于点Q1．连结AQ1交BD于点P2，过点P2作P2Q2∥CD交BC于点Q2，…，已知AB=a，CD=b，则点P1的纵坐标为 点Pn的纵坐标为 （直接用含a、b、n的代数式表示）

Answer 1

【答案】（1）a；a；（2）；（3）；.

【解析】

试题分析：（1）根据矩形的对角线互相平分且相等可得BP=PD，再根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得PQ∥CD，然后根据平行线分线段成比例定理列式求解即可得到PQ，同理求出P1Q1∥CD，然后求出的值，再求出的值，然后根据平行线分线段成比例定理可得，再代入数据进行计算即可求出P1Q1；

（2）先根据AB∥CD求出，然后求出，再根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得PQ∥CD，然后根据平行线分线段成比例定理可得，代入数据进行计算即可得解；

（3）根据（2）的结论依次表示出PQ、P1Q1、P2Q2…PnQn，再根据两直线平行，同位角相等求出∠PQC=∠P1Q1C=∠P2Q2C=…∠PnQnC=∠ABC=60°，然后利用60°角的正弦值列式计算即可得解．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴BP=PD，

∵PQ⊥BC，

∴PQ∥CD，

∴，

∴PQ=CD=a，

∵P1Q1⊥BC，

∴P1Q1∥CD，

∴，

∴，

又∵，

∴P1Q1=a；

（2）∵AB∥CD，

∴，

∴，

∵AB∥CD，∠ABC=90°，PQ⊥BC，

∴PQ∥CD，

∴，

∴PQ=；

（3）根据（2）的结论，PQ=，

P1Q1=，

P2Q2=，

P3Q3=，

…，

依此类推，PnQn=，

∵AB∥CD，PQ∥CD，P1Q1∥CD，P2Q2∥CD，…，

∴AB∥PQ∥P1Q1∥P2Q2∥…∥PnQn∥CD，

∴∠PQC=∠P1Q1C=∠P2Q2C=…∠PnQnC=∠ABC=60°，

∴点P1的纵坐标为：P1Q1sin60°=，

点Pn的纵坐标为为PnQnsin60°=．