Question

【题目】（1）如图1，AB∥CD，点M为直线AB，CD所确定的平面内的一点，若∠A105，∠M108，请直接写出∠C的度数 ；

（2）如图2，AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点，点E在直线CD上，AN平分∠PAB，射线AN的反向延长线交∠PCE的平分线于M，若∠P30，求∠AMC的度数；

（3）如图3，点P与直线AB，CD在同一平面内，AN平分∠PAB，射线AN的反向延长线交∠PCD的平分线于M，若AMC180P，求证：AB∥CD．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明过程见解析

【解析】

（1）直接添加辅助线AC，结合三角形的内角和以及平行线的同旁内角即可求解；

（2）延长BA与CP交于Q，记CQ和AM交于点H，先根据AN平分∠PAB，利用三角形的外角和对顶角，用含∠BAN的式子来表示∠MHC，再∵AB∥CD，得到，通过CM平分∠PCE，得到∠MCH可以用含∠BAN的式子来表示，最后利用三角形的内角和即可求出答案；

（3）添加辅助线AC，则，，结合已知AMC180P，得到，即可求到的值，通过角平分线就知道了，即可求到，就得到了AB∥CD．

解：（1）如图，连接AC，

在中，，

∵AB∥CD，

，

，

∵∠A105，∠M108，

∴；

（2）如图，延长BA与CP交于Q，记CQ和AM交于点H，

∵AN平分∠PAB，

，

，

∵∠P30，

∴，

，

∵AB∥CD，

，

∵CM平分∠PCE，

，

，；

（3）如图，连接AC，

则，，

∵AMC180P，

，

，

即，

∵AN平分∠PAB，MC平分∠PCD，

，

，

，

∴AB∥CD．