Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE＝BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于F，求证：

（1）EF⊥AB；（2）DE＝2DF．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得出AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，求出CD＝CE，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质求出∠E＝30°，求出∠BFE即可；

（2）连接BD，求出BD＝DE，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD＝2DF，即可得出答案．

证明：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，

∵D为AC的中点，

∴AD＝CD＝AC，

∵CE＝BC，

∴CD＝CE，

∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，

∴∠E＝∠CDE＝30°，

∵∠B＝60°，

∴∠EFB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，

即EF⊥AB；

（2）连接BD，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，∠ABC＝60°，

∵D为AC的中点，

∴∠DBC＝∠ABD＝∠ABC＝30°，

∵∠E＝30°，

∴∠DBC＝∠E，

∴DE＝BD，

∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°，

∴BD＝2DF，

即DE＝2DF．