Question

【题目】（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，当直线MN旋转到图1的位置时，求证：DE＝AD+BE；

（2）在（1）的条件下，当直线MN旋转到图2的位置时，猜想线段AD，DE，BE的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，在△ABC中，AD⊥BC于D，AD＝BC，BF⊥BC于B，BF＝CD，CE⊥BC于C，CE＝BD，求证：∠EAF+∠BAC＝90°．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DE＝AD﹣BE，证明见解析；（3）见解析.

【解析】

（1）由已知条件可推出∠ACD＝∠CBE，继而可证明△ADC≌△CEB，利用全等三角形的性质可证明结论；

（2）与（1）证法类似，可推出∠ACD＝∠CBE，证明△ADC≌△CEB，得出AD＝CE，DC＝BE，继而得出结论；

（3）连接CF、BE，可证明△ADC≌△CBF，进一步推出△ACF为等腰直角三角形，同理可推出△ABE为等腰直角三角形，从而可得出结论．

解：（1）证明：∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠BCE＝90°，

而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°，

∴∠BCE+∠CBE＝90°，

∴∠ACD＝∠CBE，

在△ADC和△CEB中， ，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴AD＝CE，DC＝BE，

∴DE＝DC+CE＝BE+AD；

（2）DE＝AD﹣BE，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠BCE＝90°，

而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°，

∴∠BCE+∠CBE＝90°，

∴∠ACD＝∠CBE，

在△ADC和△CEB中，，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴AD＝CE，DC＝BE，

∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；

（3）如图3，连接CF、BE，

AD⊥BC于D，BF⊥BC于B，

∴∠ADC＝∠CBF＝90°，

在△ADC和△CBF中， ，

∵△ADC≌△CBF（SAS），

∴∠CAD＝∠FCB，AC＝CF；

∴∠ACF＝∠FCB+∠ACD＝∠CAD+∠ACD＝∠ADC＝90°

∴△ACF为等腰直角三角形．

∴∠CAF＝45°，

同理：△ABE为等腰直角三角形．

∴∠EAB＝45°，

∴∠EAF+∠BAC＝∠CAF+∠EAB＝90°．