Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作DF⊥BC，垂足为F，DF与AC交于点M，已知∠1=∠2.

(1)求证：CM=DM；

(2)若FB=FC,求证：AM-MD=2FM.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）要证明MC=MD，即要证明∠MCD=∠2，因为∠1=∠2，所以即要证明∠MCD=∠1，由AB∥CD不难证明；（2）首先通过倍长中线造全等构造出△BFK≌△CFD，进而证明出A、B、K三点共线，再由∠2=∠K，∠1=∠2，得出∠1=∠K，所以得出AM=MK，MK=MF+KF=MF+FD=MF+FM+MD=2MF+MD.

试题解析：

（1）证明：∵AB∥CD，

∴∠1=∠MCD，

∵∠1=∠2，

∴∠2=∠MCD，

∴MC=MD；

（2）证明：延长DF到点K，使得FK=DF，连接BK，

在△BFK和△CFD中，

，

∴△BFK≌△CFD，

∴∠KBC=∠BCD，

∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD=180°，

∵∠KBC=∠BCD，

∴∠ABC+∠KBC=180°，

∴A、B、K三点共线，

∵∠2=∠K，∠1=∠2，

∴∠1=∠K，

∴AM=MK=MF+KF=MF+FD=MF+FM+MD=2MF+MD，

∴AM－MD=2MF.