Question

【题目】如图，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依次类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为,,,…, ，则= .

Answer 1

【答案】π

【解析】（1）如下图1，∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，

∴由勾股定理可得：AB=.

设△ABC的内切圆O的半径为，则，

∴S⊙O= .

（2）如下图2，过点C作CD⊥AB于点D，则由S△ABC=AC·BC=AB·CD可得： CD，解得：CD=，

∴在Rt△ACD和Rt△BCD中，由勾股定理可解得：AD=，BD=，

设⊙O1的半径为，⊙O2的半径为 ，则 ， ，

∴S⊙O1+S⊙O2= .

（3）如图3，过点D作DE⊥BC于点E，设三个圆的半径分别为 ，则同（2）可知，可解得DE=，CE=，BE=，由此解得， ，

∴S⊙O1+S⊙O2+ S⊙O3= .

（4）综上所述，在图4中，S1+S2+S3+S4= ；

在图10中，S1+S2+S3++S10= .