Question

【题目】设棱锥的顶点数为V，面数为F，棱数为E．

（1）观察与发现：三棱锥中，V3=　 　，F3=　 　，E3=　 　；

五棱锥中，V5=　 　，F5=　 　，E5=　 　；

（2）猜想：①十棱锥中，V10=　 　，F10=　 　，E10=　 　；

②n棱锥中，Vn=　 　，Fn=　 　，En=　 　；（用含有n的式子表示）

（3）探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系：　 　；

②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系：E=　 　；

（4）拓展：棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间是否也存在某种等量关系？若存在，试写出相应的等式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）4，4，6；6，6，10；（2）11，11，20；n+1，n+1，2n；（3）V=F，V+F﹣2．（4）V+F﹣E=2．

【解析】

（1）观察与发现：根据三棱锥、五棱锥的特征填写即可；
（2）猜想：①根据十棱锥的特征填写即可；
②根据n棱锥的特征的特征填写即可；
（3）探究：①通过列举得到棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系；
②通过列举得到棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系；
（4）拓展：根据棱柱的特征得到棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系．

解：（1）观察与发现：三棱锥中，V3=4，F3=4，E3=6；

五棱锥中，V5=6，F5=6，E5=10；

（2）猜想：①十棱锥中，V10=11，F10=11，E10=20；

②n棱锥中，Vn=n+1，Fn=n+1，En=2n；（用含有n的式子表示）

（3）探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系：V=F；

②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系：E=V+F﹣2；

（4）拓展：棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间也存在某种等量关系，相应的等式是：V+F﹣E=2．

故答案为：4，4，6；6，6，10；11，11，20；n+1，n+1，2n；V=F，V+F﹣2．