Question

【题目】如图1，放置的一副三角尺，将含45°角的三角尺斜边中点O为旋转中心，逆时针旋转30°得到如图2，连接OB、OD、AD．

（1）求证：△AOB≌△AOD；

（2）试判定四边形ABOD是什么四边形，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ABOD是菱形，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）根据题意得：∠BAC=60°，∠ABC=∠EDF=90°，EF=AC，由直角三角形斜边上的中线性质得出OB=AC=OA，OD=EF=AC=OB，由等腰三角形的性质得出OD⊥EF，证出△AOB是等边三角形，得出∠AOB=60°，由旋转的性质得：∠AOE=30°，证出∠AOD=60°，由SAS证明△AOB≌△AOD即可；

（2）由全等三角形的性质得出AB=AD=OB=OD，即可得出四边形ABOD是菱形．

试题解析：（1）证明：根据题意得：∠BAC=60°，∠ABC=∠EDF=90°，EF=AC．

∵O为AC的中点，∴OB=AC=OA，OD=EF=AC=OB，OD⊥EF，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，AB=OB=OA，由旋转的性质得：∠AOE=30°，∴∠AOD=90°﹣30°=60°．

在△AOB和△AOD中，∵OA=OA，∠AOB=∠AOD=60°，OB=OD，∴△AOB≌△AOD（SAS）；

（2）解：四边形ABOD是菱形．理由如下：

∵△AOB≌△AOD，∴AB=AD，∴AB=AD=OB=OD，∴四边形ABOD是菱形．