Question

【题目】如图，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，E是AB延长线上的一点，且BE=BD，过点D作DH⊥AB于H．

（1）求∠BAD和∠BDE的度数；
（2）求证：点H是AE的中点．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在等边△ABC，且D是AC的中点，

∴∠DAB= ∠BAC= ×60°=30°，∠ABC=60°，

∵BE=BD，

∴∠BDE=∠E，

∵∠ABC=∠BDE+∠E，

∴∠BDE=∠E=30°，

∴∠BAD=30°，∠BDE=30°

（2）证明：由（1）可知，∠DAB=∠E=30°

∴AD=ED，△ADE为等腰三角形，

又∵DH⊥AE，

∴H是AE的中点．

【解析】（1）根据等腰三角形的三线合一，可得∠DAB=30°，根据∠ABC=60°，BD=BE，推出∠E=30°．（2）要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE△为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证．
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形的内角和外角的相关知识，掌握三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，以及对等边三角形的性质的理解，了解等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°．