Question

【题目】【探索发现】

如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为　 　．

【拓展应用】

如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为　 　．（用含a，h的代数式表示）

【灵活应用】

如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．

【实际应用】

如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．

Answer 1

【答案】详见解析.

【解析】试题解分析：【探索发现】：由中位线知EF=BC、ED=AB、由可得；

【拓展应用】：由△APN∽△ABC知，可得PN=a-PQ，设PQ=x，由S矩形PQMN=PQPN═-（x-）2+，据此可得；

【灵活应用】：添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AE=EH=20、CD=DH=16，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现】结论解答即可；

【实际应用】：延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，由tanB=tanC知EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，继而求得BE=CE=90，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，利用【拓展应用】结论解答可得．

试题解析：【探索发现】

∵EF、ED为△ABC中位线，

∴ED∥AB，EF∥BC，EF=BC，ED=AB，

又∠B=90°，

∴四边形FEDB是矩形，

则；

【拓展应用】

∵PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

∴，即，

∴PN=a-PQ，

设PQ=x，

则S矩形PQMN=PQPN=x（a-x）=-x2+ax=-（x-）2+，

∴当PQ=时，S矩形PQMN最大值为.

【灵活应用】

如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，

由题意知四边形ABCH是矩形，

∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，

∴EH=20、DH=16，

∴AE=EH、CD=DH，

在△AEF和△HED中，

∵ ，

∴△AEF≌△HED（ASA），

∴AF=DH=16，

同理△CDG≌△HDE，

∴CG=HE=20，

∴BI==24，

∵BI=24＜32，

∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，

过点K作KL⊥BC于点L，

由【探索发现】知矩形的最大面积为×BGBF=×（40+20）×（32+16）=720，

答：该矩形的面积为720；

【实际应用】

如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，

∵tanB=tanC=，

∴∠B=∠C，

∴EB=EC，

∵BC=108cm，且EH⊥BC，

∴BH=CH=BC=54cm，

∵tanB==，

∴EH=BH=×54=72cm，

在Rt△BHE中，BE==90cm，

∵AB=50cm，

∴AE=40cm，

∴BE的中点Q在线段AB上，

∵CD=60cm，

∴ED=30cm，

∴CE的中点P在线段CD上，

∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，

由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BCEH=1944cm2，

答：该矩形的面积为1944cm2．