Question

【题目】（本题共10分）如图，在平面直角坐标系中，与轴相交于，两点，与轴相切于点．

（1）求经过，，三点的抛物线的函数表达式；

（2）设抛物线的顶点为，证明：直线与相切；

（3）在轴下方的抛物线上，是否存在一点，使面积最大，最大值是多少？并求出点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）∵=，∴，

设直线的函数解析式为，

则，解得

∴，

∵ 直线与轴交于点，

∴在中，，，

∴，

如图1，连接，，，

则， =

∴，.......... （1分）

在与中，

∵，

∴，

∴.......... （2分）

∵与轴相切于点，

∴，

∴，

∵点在上，

∴直线与相切.......... （4分）

（3）存在，最大值是，．

【解析】

试题分析：

（1）把，，代入二次函数的解析式即可得到结果；

（2）由，得到顶点的坐标，求得直线的解析式，在中，，，∴，连接，，，得，，证得，得到，由于与轴相切于点，于是得到，即可求得结论；

（3）连接，，，设，过作轴交于点，求得直线的解析式为，得到点的坐标为，于是得到，

推出，

即可得到结论．

试题解析：

解：（1）设抛物线的解析式为：，

把，，代入得，解得．

∴经过，，三点的抛物线的函数表达式为：.......... （1分）

（2）∵=，∴，

设直线的函数解析式为，

则，解得

∴，

∵ 直线与轴交于点，

∴在中，，，

∴，

如图1，连接，，，

则， =

∴，.......... （1分）

在与中，

∵，

∴，

∴.......... （2分）

∵与轴相切于点，

∴，

∴，

∵点在上，

∴直线与相切.......... （4分）

（3）存在点，使面积最大.......... （1分）

如图2连接，，，

设，

过作轴交于点，设直线的解析式为，

则，解得．

∴直线的解析式为.......... （2分）

∴点的坐标为，

∴，

∴

.......... （3分）

∴当时，最大，最大值是.......... （4分）

当时，，

∴.......... （5分）