Question

【题目】如图，线段AB=5，AD=4，∠A=90°，DP∥AB，点C为射线DP上一点，BE平分∠ABC交线段AD于点E（不与端点A、D重合）．

（1）当∠ABC为锐角，且tan∠ABC=2时，求四边形ABCD的面积；

（2）当△ABE与△BCE相似时，求线段CD的长；

（3）设CD=x，DE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．

Answer 1

【答案】（1）16（2）当△ABE∽△EBC时，线段CD的长为2或（3）（0＜x＜4.1）

【解析】试题分析:(1) 过C作CH⊥AB与H,由∠A=90°,DP∥AB,可得得四边形ADCH为矩形,在△BCH中,CH=AD=4,∠BHC=90°,tan∠CBH=2,得HB=CH÷2=2, 所以CD=AH=5-2=3,

则四边形ABCD的面积=,

(2) 由BE平分∠ABC,得∠ABE=∠EBC,当△ABE∽△EBC时,

∠BCE=∠BAE=90°,由BE=BE,得△BEC≌△BEA,得BC=BA=5,在△BCH中,BH=,所以CD=AH=5-3=2.

∠BEC=∠BAE=90°,延长CE交BA延长线于T,由∠ABE=∠EBC,

∠BEC=∠BET=90°,BE=BE,得△BEC≌△BET,得BC=BT,且CE=TE,又CD∥AT,得AT=CD.令CD=x,则在△BCH中,BC=BT=5+x,BH=5-x,∠BHC=90°,

所以,即,解得,

(3) 延长BE交CD延长线于M,因为AB∥CD,所以∠M=∠ABE=∠CBM,所以CM=CB,

在△BCH中,由勾股定理可得: ,

则DM=CM-CD= ,又因为DM∥AB,可得,即,

即可得到: .

试题解析:（1）过C作CH⊥AB与H,

由∠A=90°,DP∥AB,得四边形ADCH为矩形,

在△BCH中,CH=AD=4,∠BHC=90°,tan∠CBH=2,得HB=CH÷2=2,

所以CD=AH=5-2=3,

则四边形ABCD的面积=,

（2）由BE平分∠ABC,得∠ABE=∠EBC,

当△ABE∽△EBC时,

∠BCE=∠BAE=90°,由BE=BE,得△BEC≌△BEA,得BC=BA=5,

于是在△BCH中,BH=,

所以CD=AH=5-3=2.

∠BEC=∠BAE=90°,延长CE交BA延长线于T,

由∠ABE=∠EBC,∠BEC=∠BET=90°,BE=BE,得△BEC≌△BET,得BC=BT,

且CE=TE,又CD∥AT,得AT=CD.

令CD=x,则在△BCH中,BC=BT=5+x,BH=5-x,∠BHC=90°,

所以,即,解得,

综上,当△ABE∽△EBC时,线段CD的长为2或.

（3）延长BE交CD延长线于M,

由AB∥CD,得∠M=∠ABE=∠CBM,所以CM=CB,

在△BCH中, ,

则DM=CM-CD= ,

又DM∥AB,得,即,

解得.