Question

【题目】如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E在弧BD上，连接DE，AE，连接CE并延长交AB于点F，∠AED=∠ACF．

（1）求证：CF⊥AB；
（2）若CD=4，CB=4 ，cos∠ACF= ，求EF的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接BD，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠1=90°，

∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴∠DAB+∠3=90°，

∴∠CFA=180°﹣（DAB+∠3）=90°，∴CF⊥AB；

（2）

解：连接OE，

∵∠ADB=90°，∴∠CDB=180°﹣∠ADB=90°，

∵在Rt△CDB中，CD=4，CB=4 ，

∴DB= ，

∵∠1=∠3，∴cos∠1=cos∠3= ，∴AB=10，

∴OA=OE=5，AD= ，

∵CD=4，∴AC=AD+CD=10，

∵CF=ACcos∠3=8，∴AF= ，

∴OF=AF﹣OA=1，∴EF= ．

【解析】（1）连接BD，由AB是圆O的直径，得到∠ADB=90°，根据余角的性质得到∠CFA=180°-（∠DAB+∠3）=90°，于是得到结论；
（2）连接OE，由∠ADB=90°，得到∠CDB=180°-∠ADB=90°，根据勾股定理得到DB==8，解直角三角形得到CD=4，根据勾股定理即可得到结论。
【考点精析】解答此题的关键在于理解余角和补角的特征的相关知识，掌握互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，以及对勾股定理的概念的理解，了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．