Question

【题目】（1）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，求证：EF=BE+FD．

（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有EF=BE+FD，说明理由．

（3）如图3，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD交CD延长线于F，若BC=8，CD=3，则CE=　 　.（不需证明）

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）∠BAD=2∠EAF，理由详见解析；（3）CE=5.5.

【解析】试题分析：（1）将△ABE绕点A旋转使得AB与AD重合，然后证明△AFG≌△AFE，再利用全等三角形对应的边相等的性质不难证明；（2）首先延长CB至M，使BM=DF，连接AM，构造△ABM≌△ADF，再证明△FAE≌△MAE，最后将相等的边进行转化整理即可证明.

试题解析：

（1）证明：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，如图1所示：

则△ADG≌△ABE，

∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，

又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BAE=∠EAF=45°，

∴∠GAF=∠FAE，

在△GAF和△FAE中， , ，

∴△AFG≌△AFE（SAS）．

∴GF=EF．

又∵DG=BE，

∴GF=BE+DF，

∴BE+DF=EF．

（2）∠BAD=2∠EAF．理由如下：

如图2所示，延长CB至M，使BM=DF，连接AM，

∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，

∴∠D=∠ABM，

在△ABM和△ADF中， ，

∴△ABM≌△ADF（SAS）

∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，

∵∠BAD=2∠EAF，

∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，

∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，

在△FAE和△MAE中， ，

∴△FAE≌△MAE（SAS），

∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，

即EF=BE+DF．

（3）CE=5.5