Question

【题目】先阅读下列材料，然后解后面的问题．

材料：一个三位自然数 （百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．

（1）对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；

（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）99或297．

【解析】试题分析：（1）首先由题意可得a+c=b，将欢喜数展开，因为要证明“欢喜数”能被99整除，所以将展开式中100a拆成99a+a，这样展开式中出现了a+c，将a+c用b替代，整理出最终结果即可；（2）首先设出两个欢喜数m、n，表示出F（m）、F（n）代入F（m）﹣F（n）=3中，将式子变形分析得出最终结果即可.

试题解析：

（1）证明：∵为欢喜数，

∴a+c=b．

∵=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b，b能被9整除，

∴11b能被99整除，99a能被99整除，

∴“欢喜数”能被99整除；

（2）设m=，n=（且a1＞a2），

∵F（m）﹣F（n）=a1c1﹣a2c2=a1（b﹣a1）﹣a2（b﹣a2）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=3，a1、a2、b均为整数，

∴a1﹣a2=1或a1﹣a2=3．

∵m﹣n=100（a1﹣a2）﹣（a1﹣a2）=99（a1﹣a2），

∴m﹣n=99或m﹣n=297．

∴若F（m）﹣F（n）=3，则m﹣n的值为99或297．