Question

【题目】已知抛物线经过点A（﹣3，0），F（8，0），B（0，4）三点

（1）求抛物线解析式及对称轴；
（2）若点D在线段FB上运动（不与F，B重合），过点D作DC⊥轴于点C（x，0），将△FCD沿CD向左翻折，点B对应点为点E，△CDE与△FBO重叠部分面积为S．
①试求出S与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围．
②是否存在这样的点C，使得△BDE为直角三角形，若存在，求出C点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）抛物线对称轴上有一点M，平面内有一点N，若以A，B，M，N四点组成的四边形为菱形，求点N的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣8），

将点B（0，4）代入得4=a×（0+3）×（0﹣8），

解得a=﹣ ．

故抛物线解析式为y=﹣ （x+3）（x﹣8），

对称轴为x=（﹣3+8）÷2= ；

（2）

解：CE=CF=8﹣x，CD=4﹣ x，

①当0＜x＜4时，

S= （8﹣x）（4﹣ x）×[1﹣（ ）2]=﹣ x2+4x；

当4≤x＜8时，

S= （8﹣x）（4﹣ x）= x2﹣4x+16；

②分两种情况：当∠BED=90°时，△BOE∽△ECD，

∴ = =2，

∴EC=3，

∴C1（5，0）；

当∠EBD=90°时；

△EOB∽△BOF，

∴ = =2，

∴EO=2，

∴EC= =5，

∴C2（3，0）；

（3）

解：①以AB为边，以B为圆心，AB为半径画圆交对称轴于M1，M2两点，

M1I= = ，

由BM1，平移至AN1得，N1（﹣ ， ），N2（﹣ ，﹣ ），

以A为圆心，AB为半径画圆，此时与对称轴没有交点，故不存在；

②以AB为对角线，直线AB的解析式为：y= x+4，

则AB的中垂线MN的解析式为：y=﹣ x+ ，

当x= 时，y=﹣1，

∴M（ ，﹣1），

∴N3（﹣ ，5）．

综上所述：N1（﹣ ， ），N2（﹣ ，﹣ ），N3（﹣ ，5）．

【解析】（1）可设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣8），将点B（0，4）代入已知抛物线方程，解得a的值即可；（2）①分两种情况：0＜x＜4；4≤x＜8；进行讨论可求S与x之间的函数关系式；②分两种情况：当∠BED=90°时；当∠EBD=90°时；进行讨论可求C点坐标；（3）分两种情况：①以AB为边，以B为圆心，AB为半径画圆交对称轴于M1 ， M2两点；②以AB为对角线；进行讨论可求点N的坐标．