Question

【题目】如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A（-3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4SBOC，求点P的坐标；

（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3．（2）点P的坐标为：（-1，4）或（-1+2，-4）或（-1-2，-4）；（3）QD有最大值．

【解析】

试题分析：（1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；

（2）设P点坐标为（x，-x2-2x+3），根据S△AOP=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；

（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，再设Q点坐标为（x，x+3），则D点坐标为（x，x2+2x-3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．

试题解析：（1）把A（-3，0），C（0，3）代入y=-x2+bx+c，得

，

解得．

故该抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3．

（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，则易得B（1，0）．

∵S△AOP=4S△BOC，

∴×3×|-x2-2x+3|=4××1×3．

整理，得（x+1）2=0或x2+2x-7=0，

解得x=-1或x=-1±2．

则符合条件的点P的坐标为：（-1，4）或（-1+2，-4）或（-1-2，-4）；

（3）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（-3，0），C（0，3）代入，

得，

解得．

即直线AC的解析式为y=x+3．

设Q点坐标为（x，x+3），（-3≤x≤0），则D点坐标为（x，-x2-2x+3），

QD=（-x2-2x+3）-（x+3）=-x2-3x=-（x+）2+，

∴当x=-时，QD有最大值．