Question

【题目】如图，抛物线经过，两点，且与轴交于点，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连接．

（1）求经过，，三点的抛物线的函数表达式；

（2）点是线段上一点，当时，求点的坐标；

（3）在（2）的条件下，过点作轴于点，为抛物线上一动点，为轴上一动点，为直线上一动点，当以、、、为顶点的四边形是正方形时，请求出点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2） ；（3） ，，，．

【解析】

（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；

（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，-2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标；

（3）设点M的坐标为（a，0），表示出点G的坐标，根据正方形的性质列出方程，解方程即可．

解：（1）抛物线经过，两点，

，

解得，，

经过三点的抛物线的函数表达式为．

（2）如图1，连接，

，

当时，，

点的坐标为，

设直线的解析式为：，

则，

解得，，

直线的解析式为，

设点的坐标为，

则，

，

，

解得，，

则，

点的坐标为；

（3）设点的坐标为，则点的坐标为，

以为顶点的四边形是正方形，

，即，

当时，

整理得，，

解得，，

当时，

整理得，，

解得，，

以为顶点的四边形是正方形时，点的坐标为，，，．