Question

【题目】如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AE：EB＝1：2，BC＝12，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）连接OE、EC，根据已知条件易证∠1+∠3＝∠2+∠4=90°，即可得∠OED＝90°，所以DE是⊙O的切线；（2）证明△BEC∽△BCA，根据相似三角形的性质可得 ，即BC2＝BEBA，设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x，代入可得122＝2x3x，解得x＝2，即可得AE＝2．

（1）证明：连接OE、EC，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠AEC＝∠BEC＝90°，

∵D为BC的中点，

∴ED＝DC＝BD，

∴∠1＝∠2，

∵OE＝OC，

∴∠3＝∠4，

∴∠1+∠3＝∠2+∠4，

即∠OED＝∠ACB，

∵∠ACB＝90°，

∴∠OED＝90°，

∴DE是⊙O的切线；

（2）由（1）知：∠BEC＝90°，

∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B＝∠B，∠BEC＝∠BCA，

∴△BEC∽△BCA，

∴ ，

∴BC2＝BEBA，

∵AE：EB＝1：2，设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x，

∵BC＝12，

∴122＝2x3x，

解得：x＝2，

即AE＝2．