Question

【题目】已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE=2CE，连接AE交射线DC于点F，若△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B1处．

（1）如图1，若点E在线段BC上，求CF的长；

（2）求sin∠DAB1的值；

（3）如果题设中“BE=2CE”改为“=x”，其它条件都不变，试写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式及自变量x的取值范围（只要写出结论，不需写出解题过程）．

Answer 1

【答案】(1);(2) ① , ② ;(3)见解析.

【解析】分析：（1）利用平行线性质以及线段比求出CF的值；

（2）本题要分两种方法讨论：①若点E在线段BC上；②若点E在边BC的延长线上．需运用勾股定理求出与之相联的线段；

（3）本题分两种情况讨论：若点E在线段BC上，y=，自变量取值范围为x＞0；若点E在边BC的延长线上，y=，自变量取值范围为x＞1．

详解：（1）∵AB∥DF，

∴，

∵BE=2CE，AB=3，

∴，

∴CF=；

（2）①若点E在线段BC上，如图1，设直线AB1与DC相交于点M．

由题意翻折得：∠1=∠2．

∵AB∥DF，

∴∠1=∠F，

∴∠2=∠F，

∴AM=MF．

设DM=x，则CM=3-x．

又∵CF=1.5，

∴AM=MF=-x，

在Rt△ADM中，AD2+DM2=AM2，

∴32+x2=（-x）2，

∴x=，

∴DM=，AM=，

∴sin∠DAB1=；

②若点E在边BC的延长线上，如图2，设直线AB1与CD延长线相交于点N．

同理可得：AN=NF．

∵BE=2CE，

∴BC=CE=AD．

∵AD∥BE，

∴，

∴DF=FC=，

设DN=x，则AN=NF=x+．

在Rt△ADN中，AD2+DN2=AN2，

∴32+x2=（x+）2，

∴x=．

∴DN=，AN=，sin∠DAB1=；

（3）y=，自变量取值范围为x＞0；若点E在边BC的延长线上，y=，自变量取值范围为x＞1．