Question

【题目】菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4 ，BD=4，动点P在线段BD上从点B向点D运动，PF⊥AB于点F，四边形PFBG关于BD对称，四边形QEDH与四边形PFBG关于AC对称．设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1 ， 未被盖住部分的面积为S2 ， BP=x．
（1）用含x的代数式分别表示S1 ， S2；
（2）若S1=S2 ， 求x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：①当点P在BO上，0＜x≤2时，如图1所示．

∵四边形ABCD是菱形，AC=4 ，BD=4，

∴AC⊥BD，BO= BD=2，AO= AC=2 ，

且S菱形ABCD= BDAC=8 ．

∴tan∠ABO= = ．

∴∠ABO=60°．

在Rt△BFP中，

∵∠BFP=90°，∠FBP=60°，BP=x，

∴sin∠FBP= =sin60°= ．

∴FP= x．

∴BF= ．

∵四边形PFBG关于BD对称，

四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称，

∴S△BFP=S△BGP=S△DEQ=S△DHQ．

∴S1=4S△BFP

=4× × x

= ．

∴S2=8 ﹣ ．

②当点P在OD上，2＜x≤4时，如图2所示．

∵AB=4，BF= ，

∴AF=AB﹣BF=4﹣ ．

在Rt△AFM中，

∵∠AFM=90°，∠FAM=30°，AF=4﹣ ．

∴tan∠FAM= =tan30°= ．

∴FM= （4﹣ ）．

∴S△AFM= AFFM

= （4﹣ ） （4﹣ ）

= （4﹣ ）2．

∵四边形PFBG关于BD对称，

四边形QEDH与四边形FPBG关于AC对称，

∴S△AFM=S△AEM=S△CHN=S△CGN．

∴S2=4S△AFM

=4× （4﹣ ）2

= （x﹣8）2．

∴S1=8 ﹣S2=8 ﹣ （x﹣8）2．

综上所述：

当0＜x≤2时，S1= ，S2=8 ﹣ ；

当2＜x≤4时，S1=8 ﹣ （x﹣8）2，S2= （x﹣8）2

（2）解：①当点P在BO上时，0＜x≤2．

∵S1=S2，S1+S2=8 ，

∴S1=4 ．

∴S1= =4 ．

解得：x1=2 ，x2=﹣2 ．

∵2 ＞2，﹣2 ＜0，

∴当点P在BO上时，S1=S2的情况不存在．

②当点P在OD上时，2＜x≤4．

∵S1=S2，S1+S2=8 ，

∴S2=4 ．

∴S2= （x﹣8）2=4 ．

解得：x1=8+2 ，x2=8﹣2 ．

∵8+2 ＞4，2＜8﹣2 ＜4，

∴x=8﹣2 ．

综上所述：若S1=S2，则x的值为8﹣2 ．

【解析】（1）根据对称性确定E、F、G、H都在菱形的边上，由于点P在BO上与点P在OD上求S1和S2的方法不同，因此需分情况讨论．（2）由S1=S2和S1+S2=8 可以求出S1=S2=4 ．然后在两种情况下分别建立关于x的方程，解方程，结合不同情况下x的范围确定x的值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用菱形的性质和轴对称的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．