Question

【题目】如图，在△OAB中，OA=OB，C为AB中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，AO与⊙O交于点E，直线OB与⊙O交于点F和D，连接EF、CF与OA交于点G．

（1）求证：直线AB是⊙O的切线；

（2）求证：ODEG=OGEF；

（3）若AB=8，BD=2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析　（3）3．

【解析】（1）利用等腰三角形的性质，证明OC⊥AB即可；

（2）证明OC∥EG，推出△GOC∽△GEF即可解决问题；

（3）设OC=OD=r，在Rt△BOC中，根据OB2=OC2+BC2，列出方程即可解决问题；

（1）证明：∵OA=OB，AC=BC，

∴OC⊥AB，

∴⊙O是AB的切线．

（2）证明：∵OA=OB，AC=BC，

∴∠AOC=∠BOC，

∵OE=OF，

∴∠OFE=∠OEF，

∵∠AOB=∠OFE+∠OEF，

∴∠AOC=∠OEF，

∴OC∥EF，

∴△GOC∽△GEF，

∴=，∵OD=OC，

∴ODEG=OGEF．

（3）解：设OC=OD=r，

在Rt△BOC中，∵OB2=OC2+BC2，

∴（r+2）2=r2+42，

∴r=3，

∴⊙O的半径为3．