Question

【题目】提出问题：如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC与点E，求证：PB=PE
分析问题：学生甲：如图1，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N通过证明两三角形全等，进而证明两条线段相等．
学生乙：连接DP，如图2，很容易证明PD=PB，然后再通过“等角对等边”证明PE=PD，就可以证明PB=PE了．
解决问题：请你选择上述一种方法给予证明．
问题延伸：如图3，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，PB=PE还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】证明：如图1，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，

∵PM⊥BC，PN⊥CD，

∴四边PMCN为矩形，PM=PN，

∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，

∴∠PBC+∠CEP=180°，

而∠CEP+∠PEN=180°，

∴∠PBM=∠PEN，

在△PBM和△PEN中

∴△PBM≌△PEN（AAS），

∴PB=PE；

如图2，连结PD，

∵四边形ABCD为正方形，

∴CB=CD，CA平分∠BCD，

∴∠BCP=∠DCP，

在△CBP和△CDP中

，

∴△CBP≌△CDP（SAS），

∴PB=PD，∠CBP=∠CDP，

∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，

∴∠PBC+∠CEP=180°，

而∠CEP+∠PEN=180°，

∴∠PBC=∠PED，

∴∠PED=∠PDE，

∴PD=PE，

∴PB=PD；

如图3，PB=PE还成立．

理由如下：过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，

∵PM⊥BC，PN⊥CD，

∴四边PMCN为矩形，PM=PN，

∴∠MPN=90°，

∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，

∴∠BPM+∠MPE=90°，

而∠MEP+∠EPN=90°，

∴∠BPM=∠EPN，

在△PBM和△PEN中

，

∴△PBM≌△PEN（AAS），

∴PB=PE．

【解析】对于图1，根据正方形的性质得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，而PM⊥BC，PN⊥CD，则四边PMCN为矩形，根据角平分线性质得PM=PN，根据四边形内角和得到∠PBC+∠CEP=180°，再利用等角的补角相等得到∠PBM=∠PEN，然后根据“AAS”证明△PBM≌△PEN，则PB=PE；

对于图2，连结PD，根据正方形的性质得CB=CD，CA平分∠BCD，根据角平分线的性质得∠BCP=∠DCP，再根据“SAS”证明△CBP≌△CDP，则PB=PD，∠CBP=∠CDP，根据四边形内角和得到∠PBC+∠CEP=180°，再利用等角的补角相等得到∠PBC=∠PED，则∠PED=∠PDE，所以PD=PE，于是得到PB=PD；

对于图3，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，根据正方形的性质得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，而PM⊥BC，PN⊥CD，得到四边PMCN为矩形，PM=PN，则∠MPN=90°，利用等角的余角相等得到∠BPM=∠EPN，然后根据“AAS”证明△PBM≌△PEN，所以PB=PE．