Question

【题目】已知O是直线AB上一点，将一直角三角尺如图QZ－13(a)放置，一直角边ON在直线AB上，另一直角边OM与AB所形成的∠AOM＝90°，射线OC在∠AOM内部.

（探究）如图(b)，将三角尺绕着点O顺时针旋转，当∠AON＝∠CON时，试判断OM是否平分∠BOC，并说明理由.

（拓展）若∠AOC＝80°时，三角尺OMN绕O点顺时针旋转一周，每秒旋转5°，则多少秒后，∠MOC＝∠MOB?

（延伸）在上述条件下，如图(c)，旋转三角尺使ON在∠BOC内部，另一边OM在直线AB的另一侧，下面两个结论：①∠NOC－∠BOM的值不变；②∠NOC＋∠BOM的值不变．选择其中一个正确的结论说明理由．

Answer 1

【答案】【探究】DM平分∠BOC，理由见解析；【拓展】8秒或44秒后，∠MOC＝∠MOB；【延伸】①结论正确，理由见解析.

【解析】

（1）根据图形和题意得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON+∠COM=90°，再根据∠AON=∠CON，即可得出OM平分∠BOC；
（2）根据∠AOC=80゜，再分两种情况讨论，当三角板OMN绕O点顺时针旋转40°时，∠MOC=∠MOB和三角板OMN绕O点顺时针旋转220°时，∠MOC=∠MOB，从而得出答案；
（3）分别求出∠NOC=100°-∠BON，∠BOM=90°-∠BON，得出∠NOC-∠BOM=10°即可．

探究:DM平分∠BOC.

理由：因为∠AON＋∠BOM＝90°，∠CON＋∠COM＝90°，∠AON＝∠CON, 　

所以∠COM＝∠BOM，

所以OM平分∠BOC.

拓展:分两种情况：

因为∠AOC＝80°， ①当三角尺OMN绕O点顺时针旋转40°时，∠MOC＝∠MOB，

所以40°÷5＝8(秒); ②当三角尺OMN绕O点顺时针旋转220°时，∠MOC＝∠MOB，

所以220°÷5＝44(秒).

综上所述，8秒或44秒后，∠MOC＝∠MOB.

延伸:①结论正确．理由：

因为∠NOC＝180°－∠AOC－∠BON＝100°－∠BON，∠BOM＝90°－∠BON,

所以∠NOC－∠BOM＝(100°－∠BON)－(90°－∠BON)＝10°，

所以①∠NOC－∠BOM的值不变正确．