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8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=30,动点P从点B开始沿边BC向点C以每秒3个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CA向点A以每秒1个单位长度的速度运动,连接PQ,点P、Q分别从点B、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t≥0).
(1)当t=5秒时,三角形△PCQ的面积最大.
(2)在整个运动过程中,线段PQ的中点所经过的路程长为510

分析 (1)根据题意得到CP=BC-BP=30-3t,CQ=t,根据三角形的面积公式得到S△PCQ=12PC•CQ=12×303t•t=-32t2+15t,根据二次函数的顶点坐标公式即可得到结论;
(2)线段PQ的中点所经过的路程为一个三角形的中位线长.

解答 解:(1)∵CP=BC-BP=30-3t,CQ=t,
∵∠C=90°,
∴S△PCQ=12PC•CQ=12×303t•t=-32t2+15t,
当t=-152×32=5时,三角形△PCQ的面积最大;

(2)线段PQ的中点所经过的路程是线段MN的长,如图所示:
当P在B处,Q在C处时,PQ的中点为BC的中点,当点Q运动10秒时,P、Q停止运动,
PQ的中点为N,P到达D,Q到达A,
过点A作AE∥MN交BC于点E,
此时CD=30-3×10=0,
∴MD=15-0=15,
∵N是AD的中点,
∴M是DE的中点,
∴EM=DM=15,MN=12AE,
∴CE=0+15+15=30,
∴AE=302+102=1010
∴MN=510
 即线段PQ的中点所经过的路程长为510
故答案为:5,510

点评 本题考查二次函数的应用,勾股定理,三角形面积的计算,三角形中位线的性质,正确的作出图形是解题的关键.

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