Question

【题目】已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，

（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=　 　；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=　 　；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=　 　；

（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=　 　（用含α的式子表示）；

（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．

Answer 1

【答案】（1）120°，90°，60°；（2）180°﹣α；（3）∠AFB=180°﹣α,证明详见解析.

【解析】

（1）如图1，证明△ACE≌△DCB，根据全等三角形的性质可得∠EAC=∠BDC，再根据∠AFB是△ADF的外角求出其度数即可；如图2，证明△ACE≌△DCB，得出∠AEC=∠DBC，又有∠FDE=∠CDB，进而得出∠AFB=90°；如图3，证明△ACE≌△DCB，得出∠EAC=∠BDC，又有∠BDC+∠FBA=180°-∠DCB得到∠FAB+∠FBA=120°，进而求出∠AFB=60°；（2）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE=∠CDB，从而得出∠DFA=∠ACD，得到结论∠AFB=180°-α；（3）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，通过证明△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形内角和定理得到结论∠AFB=180°-α．

解：（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°，

所以△ACD是等边三角形．

∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，

所以△ECB是等边三角形．

∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，

又∵∠ACD=∠BCE，

∴∠ACE=∠BCD．

∵AC=DC，CE=BC，

∴△ACE≌△DCB．

∴∠EAC=∠BDC．

∠AFB是△ADF的外角．

∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°．

如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，

∴△ACE≌△DCB．

∴∠AEC=∠DBC，

又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，

∴∠EFD=90°．

∴∠AFB=90°．

如图3，∵∠ACD=∠BCE，

∴∠ACD﹣∠DCE=∠BCE﹣∠DCE．

∴∠ACE=∠DCB．

又∵CA=CD，CE=CB，

∴△ACE≌△DCB．

∴∠EAC=∠BDC．

∵∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB=180°﹣（180﹣∠ACD）=120°，

∴∠FAB+∠FBA=120°．

∴∠AFB=60°．

故填120°，90°，60°．

（2）∵∠ACD=∠BCE，

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE．

∴∠ACE=∠DCB．

∴∠CAE=∠CDB．

∴∠DFA=∠ACD．

∴∠AFB=180°﹣∠DFA=180°﹣∠ACD=180°﹣α．

（3）∠AFB=180°﹣α；

证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，

即∠ACE=∠DCB．

在△ACE和△DCB中，

则△ACE≌△DCB（SAS）．

则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α．

∠AFB=180°﹣∠EFB=180°﹣α．