Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC=120°，连接AC．

（1）求∠A的度数；
（2）若点D到BC的距离为2，那么⊙O的半径是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OC，

∵BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，

∴OC⊥CD，OB⊥BD，

∴∠OCD=∠OBD=90°，

∵∠BDC=120°，

∴∠BOC=360°﹣∠OCD﹣∠BDC﹣∠OBD=60°，

∴∠A= ∠BOC=30°

（2）解：∵BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，

∴DC=DB，

∴∠DCB=∠DBC= （180°﹣120°）=30°，

过点D作DE⊥BC，垂足为E，则DE=2，

∵∠DBC=30°，

∴BD=2DE=4，

在直角△DEB中， ，

∴BC=2BE= ，

由（1）可知△OBC为等边三角形，

∴OB=BC= ，

∴⊙O的半径是 ．

【解析】（1）首先连接OC，由BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得答案；（2）首先求得∠DCB与∠DBC的度数，然后过点D作DE⊥BC，垂足为E，则DE=2，即可求得BE的长，继而求得BC的长，然后由（1）可知△OBC为等边三角形，即可求得答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解垂径定理的相关知识，掌握垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，以及对切线的性质定理的理解，了解切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．