Question

【题目】我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”

（1）概念理解：
请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；
（2）问题探究；
如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；
（3）应用拓展；
如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

矩形或正方形

（2）

解：AC=BD，理由为：

连接PD，PC，如图1所示：

∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，

∴PA=PD，PC=PB，

∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，

∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC，

∴∠APC=∠DPB，

∴△APC≌△DPB（SAS），

∴AC=BD；

（3）

解：分两种情况考虑：

（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，

如图3（i）所示，

∴∠ED′B=∠EBD′，

∴EB=ED′，

设EB=ED′=x，

由勾股定理得：42+（3+x）2=（4+x）2，

解得：x=4.5，

过点D′作D′F⊥CE于F，

∴D′F∥AC，

∴△ED′F∽△EAC，

∴ ，即 ，

解得：D′F= ，

∴S△ACE= AC×EC= ×4×（3+4.5）=15；S△BED′= BE×D′F= ×4.5× = ，

则S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣ =10 ；

（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，

如图3（ii）所示，

∴四边形ECBD′是矩形，

∴ED′=BC=3，

在Rt△AED′中，根据勾股定理得：AE= = ，

∴S△AED′= AE×ED′= × ×3= ，S矩形ECBD′=CE×CB=（4﹣ ）×3=12﹣3 ，

则S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′= +12﹣3 =12﹣ ．

【解析】（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示，根据PE、PF分别为AD、BC的垂直平分线，得到两对角相等，利用等角对等角得到两对角相等，进而确定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB与三角形DPB全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，由S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′ ， 求出四边形ACBD′面积；（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，由S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′ ， 求出四边形ACBD′面积即可．此题属于几何变换综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂直平分线定理，等腰三角形性质，以及矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．