Question

【题目】在正方形ABCD中，AB＝6，E为直线AB上一点，EF⊥AB交对角线AC于F，点G为AF中点，连接CE，点M为CE中点，连接BM并延长交直线AC于点O．

（1）如图1，E在边AB上时，＝　 　，∠GBM＝　 　；

（2）将（1）中△AEF绕A逆时针旋转任意一锐角，其他条件不变，如图2，（1）中结论是否任然成立？请加以证明．

（3）若BE＝2，则CO长为　 　．

Answer 1

【答案】（1），45°；（2）成立，理由见解析；（3）或3．

【解析】

（1）连结EG、GM．想办法证明△GBM是等腰直角三角形即可解决问题．
（2）成立．延长GM到H，使得MH=GM，连接BH，HC，延长HC交AF的延长线于I，设AI交CD于J．利用全等三角形的性质证明△GBM是等腰直角三角形即可解决问题．
（3）分两种情形①点E在线段AB上．②点E在AB的延长线上，分别求解即可解决问题．

解：（1）连结EG、GM．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，∠CAB＝∠ACB＝45°，

∵EF⊥AB，

∴∠AEF＝90°，

∴∠EAF＝∠EFA＝45°，

∵AG＝GF，

∴EG⊥AF，

∴∠EGC＝90°

∵EM＝MC，

∴GM＝BM＝CE，

∴∠MCG＝∠MGC，∠MBC＝∠MCB，

∴∠BMG＝∠BME+∠GME＝2∠BMC+2∠GCM＝2∠ACB＝90°．

故△GMB为等腰直角三角形．

∴．

故答案为，45°．

（2）成立．

理由：延长GM到H，使得MH＝GM，连接BH，HC，延长HC交AF的延长线于I，设AI交CD于J．

∵EM＝MC，GM＝MH，∠EMG＝∠HMC，

∴△EMG≌△CMH（SAS），

∴EG＝CH，∠EGM＝∠MHC，

∴EC∥CH，

∴∠AGE＝∠AIH＝90°，

∵AG＝EG，

∴AG＝CH，

∵∠D＝∠I＝90°，∠AJD＝∠CJI，

∴∠ICD＝∠IAD，

∵∠BAG+∠IAD＝90°，∠BCH+∠ICF＝90°

∴∠BCH＝∠BAG，

∵BA＝BC

∴△BAG≌△BCH（SAS），

∴BG＝DH，∠ABG＝∠CBH，

∴∠∠GBH＝∠ABC＝90°

故△GBH是等腰直角三角形，

∴，∠GBM＝45°．

（3）当E在B上方时，如图3﹣1中，延长BO交CD于T．

∴BE∥CT，

∴∠MEB＝∠MCT，

∵∠EMB＝∠CMT，EM＝CM，

∴△EMB≌△CMT（ASA），

∴BE＝CT＝2，

∵CT∥AB，

∴ ，
∵AC=6，
∴OC=×6
∴CO=
当E在B下方时同法可得CO=3．
综上所述，OC的长为或3．
故答案为或3．