Question

【题目】已知抛物线y=ax2﹣4ax+b与x轴的一个交点A的坐标为（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）当a=﹣1时，将抛物线向上平移m个单位后经过点（5，﹣7）．
①求m的值及平移前、后抛物线的顶点P、Q的坐标．
②设平移后抛物线与y轴交于点D，问：在平移后的抛物线上是否存在点E，使得△ECD的面积是△EPQ的3倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：将A（0，3）代入y=ax2﹣4ax+b中，得b=3a，

∴y=ax2﹣4ax+3a．

当y=0时，ax2﹣4ax+3a=0．

解得x=1或x=3，

∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（1，0）

（2）

解：①当a=﹣1时，y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，

∴平移前抛物线的顶点坐标为（2，1），

∵平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+1+m，且经过点（5，﹣7），

∴m=1，

∴y=﹣（x﹣2）2+2，

∴平移后抛物线的顶点Q的坐标为（2，2），

②存在．理由如下，如图，

由平移可知PQ=CD，

∴要使S△EPQ=3S△EPQ只需要CD上的高是PQ上的高的3倍．

设点E（x0，y0），由①知平移前、后抛物线的对称轴均为直线x=2．

a、当点E位于对称轴右侧时，如图，则有3（x0﹣2）=x0．

∴x0=3，y0=1，

∴点E的坐标为（3，1）

b、当点E位于对称轴与y轴之间时，则有3（2﹣x0）=x0．

∴x0= ，y0=

∴点E的坐标为（ ， ）．

c、当点E位于y轴左侧时，则有3（2﹣x0）=﹣x0．

∴x0=3＞0，与点E位于y轴左侧矛盾，故此情况不存在

综上所述，点E的坐标为（3，1）或（ ， ）

【解析】（1）将A（0，3）代入y=ax2﹣4ax+b中，得b=3a，可得y=ax2﹣4ax+3a．令y=0时，得ax2﹣4ax+3a=0解方程即可解决问题．（2）①当a=﹣1时，y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，平移前抛物线的顶点坐标为（2，1），因为平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+1+m，且经过点（5，﹣7），利用待定系数法求出m的值即可解决问题．②存在．分三种情形讨论即可．a、当点E位于对称轴右侧时，如图，则有3（x0﹣2）=x0 ． b、当点E位于对称轴与y轴之间时，则有3（2﹣x0）=x0 ． c、当点E位于y轴左侧时，则有3（2﹣x0）=﹣x0 ． 分别解方程即可解决问题．
【考点精析】通过灵活运用抛物线与坐标轴的交点，掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．即可以解答此题．